breqwas (breqwas) wrote,
breqwas
breqwas

И четыре тысячи гульденов на красное



Не могу не перепостить коммент Дрюхи к посту про рулетку:


> Есть ли среди читающих это кто-нибудь умный, кому не слабо вывести эту медиану аналитически?

Троллинг засчитан :D

В дискретном случае там будет по всей видимости какая-нибудь мутота с биноминальными коэффициентами, ну её такую аналитику. Так что я сразу достал ради тебя справочник по броуновскому движению ;)

Итак. Для броуновского движения с началом в x и сносом μ плотность распределения момента первого выхода на уровень z в точке t имеет вид



вооот =) Вряд ли это символьно интегрируется, так что дальше численно :P интегрируем по [0, T] и останавливаемся на таком T где интеграл дорос до 0.5, это T и будет медиана.

В твоём случае z=0, x надо положить равным 10, потому что у броуновского движения дисперсия за 1 времени равна 1. Ну а μ соответственно в честной рулетке 0, а в обычной -0.03. Это всё на самом деле не для твоей задачи, а для случая, когда с выигрышем не уходим вообще никогда, то есть вместо 100000 бесконечность. Для обычной рулетки это по сути не важно и можно пренебречь. А для "честной" на самом деле большая разница, там если убрать верхнюю границу, то момент выхода имеет бесконечное среднее, возможно и медиана тоже существенно вырастет.

Формулы для момента выхода из интервала (a,b) тоже известны. Но тебе их лучше не видеть :) Какие-то обратные преобразования Лапласа от шинусов O_o



Я написал скриптик для проверки, и ( вау :) ) всё сошлось, цифры похожи на полученные экспериментально:

Median for roulette with no zero: 219.810950756073
Median for roulette with zero: 135.710477828979
Median for roulette with zero & double zero: 100.083303451538

Медиана для "честной" рулетки на самом деле не вырастает по сравнению с моим случаем, т.к. те кто в моей экспериментальной модели ( :)))) ) выходят по выигрышу раньше времени - они уже заведомо выше медианы, и их дальнейшая игра на неё не влияет.

All hail Дрюха, у него есть справочник по броуновскому движению и он умеет его читать!
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 1 comment